INTRODUCCION A LOS CIRCUITOS ELECTRICÓS: Método de las Corrientes por Mallas y Supermalla

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METODO DE LAS CORRIENTES POR MALLAS

Para comenzar con este apartado, hay que tener en cuenta que en los temas anteriores se vino explicando con corrientes por ramas en un circuito común, la cantidad de corrientes que se podía encontrar se determinaba por la cantidad de ramas. Aunque esa forma de trabajar era sencilla, se aplicara un concepto nuevo, llamado Corrientes por Mallas.

En simples palabras es encontrar la cantidad de mallas que tendrá esa corriente. Suponemos que tenemos un circuito como el siguiente.

En la malla 1 están involucrados 3 corrientes, la I1, la I4 y la I2 entonces nombraremos a una corriente IA que representaría a estas 3 corrientes. Lo mismo para cada malla, el sentido que tome la corriente para hacer el recorrido de los componentes de la malla es subjetiva, se puede hacer a todos anti horario o sentido horario.

En la malla2 las corrientes involucradas son la I2, la I3 y la I5

Y así sucesivamente, en modelo matemático:

Se debe tener en cuenta que la corriente por malla es una corriente de rama particular, es decir, que la corriente por malla representa una corriente de rama que pertenece a una rama independiente (aquella que pertenece a solo una malla).

En la malla1 la corriente IA estaría representada por la corriente I1 porque esta pertenece a una rama independiente, el signo o el sentido que tomen pueden no coincidir es por eso el uso del moduló, así solo se considera el valor por el momento.

Corrientes por mallas significa que es un método que nos permite trabajar de una forma más ordenada y eficaz a la hora de hacer la resolución de un circuito.

Hay dos formas de aplicarlo, que se demostrara usando el siguiente ejemplo (las ramas dependientes están pintadas de celeste y las ramas independientes están pintadas de rosa, la corriente de rama que representa a la corriente por malla serán las independientes):

Método Directo

1.Indicar la cantidad de Mallas: Se observa que en el circuito son solo 4 Mallas.

2.Indicar las corrientes por Mallas: Todas con el mismo sentido.

3.Aplicar Ley de Ohm matricial y determinantes: cabe aclarar que todo circuito que se observe se rige por la ley de Ohm, sin embargo, la ley de Ohm matricial trabaja con matrices y no con variables, donde la rayita encima representa a una matriz:

Pero lo que se hará es:

Armar la matriz Resistiva

La primera matriz a formar será la Matriz Resistiva que se determina con la cantidad de mallas, como tenemos 4 mallas en el circuito, la misma será de 4x4  y para ubicar a las resistencias, hay 3 casos particulares.

• Hacer la suma de las resistencias en la malla, si la corriente por malla recorre a todas las resistencias en la malla, por ejemplo,  la corriente por malla IA recorre a todas las resistencias de la malla M1 y la IB recorre a todas las resistencias de la malla M2.

• Ubicar el valor opuesto o el signo opuesto de la resistencia, si la corriente por malla no recorre a todas las resistencias en la malla, por ejemplo, la corriente por malla IB recorre a solo la resistencia R2 de la malla M1 y la IC recorre solo a la resistencia R4 de la malla M1.

• Si no se cumple ninguna anterior, se pone el valor cero.

Comenzamos con fila 1, en la cual recorremos cada columna para al fin pasar a la siguiente fila y así sucesivamente. A continuación la Matriz resistiva formada.

Con la Matriz resistiva lista, se agrega la matriz de las corrientes, que es de  4x1.

Por último se agrega la matriz de las fuentes de tensión.

Armar la Matriz de Tensión

El signo del valor de la fuente de tensión por mallas será positivo si la dirección de la corriente que marca en la rama independiente es del mismo sentido que la corriente por malla de la malla, por ejemplo para la segunda columna, en la malla M2,  el sentido de acuerdo a la dirección de la corriente  de la fuente de tensión V2, no es igual, al sentido de la corriente por malla IB, al contrario, del sentido de la corriente de acuerdo a la dirección de la fuente V3 que si coincide con el sentido horario que se tomó para la corriente por malla IB, entonces el valor a ubicar es –V2+V3.

Resolver la Ley de Ohm Matricial

Para resolver la operación matricial y encontrar el valor de las corrientes por mallas, en primera instancia, se debe sacar el determinante de la matriz resistiva de alguna manera manual o usando la calculadora matricial, lo cual genera un número.

IA: Para obtener el valor de la corriente IA es el (determinante de la matriz resistiva  ahora reemplazando la primera columna con la columna de las tensiones) sobre el (determinante de la matriz resistiva)

IB: Para obtener el valor de la corriente IB es el (determinante de la matriz resistiva  ahora reemplazando la segunda columna con la columna de las tensiones) sobre el (determinante de la matriz resistiva).

IC: Para obtener el valor de la corriente IB es el (determinante de la matriz resistiva  ahora reemplazando la tercera columna con la columna de las tensiones) sobre el (determinante de la matriz resistiva).

ID: Para obtener el valor de la corriente ID es el (determinante de la matriz resistiva  ahora reemplazando la cuarta columna con la columna de las tensiones) sobre el (determinante de la matriz resistiva). Esto sigue sucesivamente dependiendo de las dimensiones de la matriz.

4-Indicar las corrientes por ramas y representar las independientes: La corriente por malla IA recorre  a los componentes en la malla en una dirección contraria a la dirección que recorre la corriente I1, entonces la corriente I1=-IA.

5-Aplicar la 1ra ley de Kirchhoff (LKI) en cada nodo (menos aquel que tiene solo ramas dependientes): se reemplaza con la igualdades de las corrientes por ramas del ejemplo anterior y así obtendríamos el valor  de todas las corrientes en el circuito.

Método Indirecto o Demostrativo

1-Indicar cantidad de mallas (similar al método directo)

2-Indicar corrientes por mallas (similar al método directo)

3-Hacer el convenio de Signos: en las resistencias es en base al sentido de la corriente por malla que hay en cada malla, en las ramas que sean dependientes se debe poner en ambas lados, porque tiene dos tensiones.

4-Aplicar la 2da Ley de Kirchhoff (LKV) en cada malla: para ramas dependientes se analiza ambos lados.

Estas ecuaciones forman una matriz.

5-Aplicar la Ley de Ohm Matricial y determinantes de matrices: el orden de análisis determina muy bien el orden de las ecuaciones en las matrices. (Similar al método directo)

6-Indicar la corrientes por ramas y representar las independientes (Similar al método directo)

7- Aplicar la 1ra ley de Kirchhoff (LKI) en cada nodo (menos aquel que tiene solo ramas dependientes), (Similar al método directo)

SUPERMALLA

Supermalla representaría un arreglo matemático simplificado, este no es un  método como tal, puede expresar a través de o se puede identificar en un circuito o una combinación de componentes.

• Antes que nada, es mejor repasar que es una fuente de corriente (Ix):

• Es un componente que como tal no existe, solo es una resistencia muy elevada conectada a una fuente de tensión.

• Se rige por la ley de ohm y el convenio de signos dice que donde la corriente sale esta aun mayor potencial que de donde entra.

• Mantiene la corriente en forma constante mientras que variá la tensión.

En la siguiente imagen esta ejemplo a resolver.

Lo que observamos en la imagen, es que se puede aplicar el camino directo, pero en algún punto del proceso, habrá un inconveniente debido a la fuente de corriente que está en el circuito, entonces la opción más viable, es ir por el camino demostrativo, es decir, el método Indirecto pero con algunos cambios.

Nota: siempre tendremos los valores los valores de los componentes en un circuito y en cuyo caso no se tenga, siempre se puede aplicar métodos para obtenerlos.

Método Indirecto en Supermalla

1-indicar cantidad de mallas (Similar Método indirecto)

2-indicar las corrientes por mallas (Similar Método indirecto)

3-aplicar el convenio de signos (Similar Método indirecto)

Para el paso 4 hay que tener en cuenta que cuando se observe una rama dependiente cuyo único componente sea una fuente de corriente se debe aplicar Supermalla, dicho de otra forma, no tomar en cuenta la fuente de corriente en el paso 4 y hacer como que esa dos mallas sean una, cabe aclarar que aun  se usara las corrientes por mallas.

4-Indicar las Corrientes por Ramas(SImilar Metodo Indirecto)

5-Aplicar la Ley de Kirchhoff (LKI) en todos los nodos, excepto el que tiene solo ramas dependientes y por últimos despejar las corrientes  de las ramas dependientes (En el nodo D puede elegir cuaquiera excepto el de la fuente de corriente).

6-Representar las Corrientes por Mallas con las corrientes por ramas Independientes (será positivo si coinciden en el sentido y si van en sentido contrario es negativo), por ultimo reemplazar en la ecuación anterior, las corrientes por ramas con su representación en fuente de corriente.

7-Aplicar la Ley de Kirchhoff (LKV) y usar la ecuación con la corriente por malla despejada como reemplazo.

8-Aplicar la Ley de Ohm Matricial (Similar Método indirecto), con esto obtenemos los valores de las corrientes por mallas, por consecuente las corrientes por ramas representadas.

9-Al aplicar la Ley de Ohm Matricial se obtiene los valores de IA e IB  que están representadas por las corrientes por ramas I6 e I4, con eso resolvemos las ecuaciones anteriores y al final tendremos todos los valores de las corrientes por ramas restantes.

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